代数 (Algebra)

代数相关笔记。

发展历程

早期代数与算术结合，处理具体数字的运算和简单方程。16 世纪韦达引入字母符号，代数进入符号化阶段，解方程成为核心内容（一元二次方程、二元一次方程组等）。此后三次、四次方程相继获得根式解，但五次方程的根式求解迟迟无果——1824 年阿贝尔证明一般五次方程无根式解，伽罗瓦用群论给出可解性判据，群论由此诞生，代数学也从方程式论转向代数结构（群、环、域）的研究，这一阶段的代数学称为近世代数，也称抽象代数。我们可以通过下面的例子，直观感受代数的运用。

已知小明的魔法药水配方中，混合两种材料的效果定义为a★b =2a+3b-ab，那么:

  1. 若混合材料5 ★ 3 ，效果是多少?
  2. 若想得到效果为 10，需要找到某个材料 x满足x★4 =10，求x。
  3. 是否存在一个特殊的数e，使得对任意数a，都有a★e=a?
  4. 判断以下等式(a★b)c=a★(b★c)是否总成立。
  5. 是否存在两个不同的数a和 b，使得a★b=b★a?

对于上面的问题，第一个问题就是函数调用；第二个问题就是解方程；而第三个问题就是研究特殊元素；第四、五个问题就是研究运算律